2007-2008学年重庆市西南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

圆x²+y²-2x-3=0的圆心到直线y=x距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知点F₁（-3，0）和F₂（3，0），动点P到F₁、F₂的距离之差为4，则点P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

关于曲线|x|-|y|=1所围成的图形，下列判断不正确的是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y=x对称

4. 难度：中等

方程x⁴-y⁴-4x²+4y²=0表示的曲线是（ ）
A．两个圆
B．四条直线
C．两相交直线和一个圆
D．两平行直线和一个圆

5. 难度：中等

设两平行直线a、b间距离为20cm，平面α与a、b都平行且与a、b的距离均为10cm，则这样的平面α有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

6. 难度：中等

双曲线的两条渐近线所成的四个角中，夹双曲线的角是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．6

8. 难度：中等

椭圆的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁、F₂为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

以下命题：
①若m⊂α，l⊄α，l与m不相交，则l∥α；
②若b⊂α，c⊂α，l⊄α且b、c相交，l与b、c不相交，则l∥α；
③若b∥c，b∥α，则c∥α；
④若l∥α，b∥α，则l∥b．
其中是真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

如图，M为椭圆上任一点，F₁、F₂是椭圆两焦点，I为△MF₁F₂内心，延长MI交F₁F₂于N，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线l₁：3x-2y+1=0与直线l₂：2x+ay+3=0平行，则a值为    ．

12. 难度：中等

将参数方程化为普通方程是    ．

13. 难度：中等

已知F为抛物线y²=3x的焦点，P为抛物线上任一点，A（3，2）为平面上一定点，则|PF|+|PA|的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知，则z=y-x的最大值为    ．

15. 难度：中等

与空间不共面四点距离相等的平面有    个．

16. 难度：中等

无论a取什么实数，方程x²+2y²-ax+ay-a-1=0表示的椭圆都和一条定直线相交，且截得的弦长为定值，则这个定值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知双曲线C与椭圆9x²+25y²=225有相同的焦点，且离心率e=2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P为双曲线右支上一点，F₁、F₂为其焦点，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

18. 难度：中等

已知⊙C：（x-3）²+（y-3）²=4，直线l：y=kx+1
（1）若l与⊙C相交，求k的取值范围；
（2）若l与⊙C交于A、B两点，且|AB|=2，求l的方程．

19. 难度：中等

如图，D是△ABC所在平面外一点，DC⊥AB，E、F分别是CD、BD的中点，且AD=10，CD=BC=6，AB=2．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求异面直线AD与BC所成的角．

20. 难度：中等

已知抛物线方程为y²=2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

21. 难度：中等

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求点Q到BD的距离；
（3）求点A到平面QBD的距离．

22. 难度：中等

已知向量，动点M（x，y）到直线y=1的距离等于d，并且满足（其中O是坐标原点，k∈R）．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）当时，求的取值范围．