Question

已知向量，动点M（x，y）到直线y=1的距离等于d，并且满足（其中O是坐标原点，k∈R）．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）当时，求的取值范围．

Answer

（1）先设出M的坐标并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各点的坐标以及动点M到定直线y=1的距离等于d代入 ，整理即可求出动点M的轨迹方程为（1-k）（x2-2x）+y2=0，再分情况得出曲线类型；
（2）先利用（1）的结论得出：0≤x≤2，y2=，再把 整理为 ，利用二次函数在闭区间上的最值求即可求出 的最大值和最小值，从而得到的取值范围．
【解析】
（1）∵O为原点，且
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴，（2分）
又
∴x（x-2）+y2=k[x（x-2）+（y-1）2-（y-1）2]⇒x2-2x+y2=k（x2-2x）⇒（1-k）x2+2（k-1）x+y2=0（5分）
1）当k=1时，y=0，动点轨迹是一条直线；
2）当k≠1时，4）
①若1-k=1⇒k=0时，（x-1）2+y2=1动点轨迹是一个圆；
②若时，动点轨迹是椭圆；
③若1-k＜0⇒k＞1时，动点轨迹是双曲线．（9分）
（2）当时，M轨迹方程为（x-1）2+2y2=1
∴（10分）
∴=（12分）
又（x-1）2+2y2=1⇒（x-1）2≤1⇒0≤x≤2
∴当 
当 x=0时，tmax=4
∴的取值范围是[，4]．（14分）