2009-2010学年湖南师大附中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°

3. 难度：中等

设集合，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

4. 难度：中等

巳知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是（ ）

A．24
B．36+6
C．36
D．36+12

5. 难度：中等

某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有（ ）
A．4455种
B．495种
C．4950种
D．7425种

6. 难度：中等

已知双曲线，直线l过其左焦点F₁，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|=4，F₂为双曲线的右焦点，△ABF₂的周长为20，则m的值为（ ）
A．8
B．9
C．16
D．20

7. 难度：中等

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M 是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

执行程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

10. 难度：中等

设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合．已知曲线C₁的极坐标方程是：，曲线C₂参数方程为：（θ为参数），若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

给出下列四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
④在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位．
其中正确命题的个数是    个．

12. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，巳知S₁₀=∫³（1+2x）dx，S₂₀=18，则S₃₀=    ．

13. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为    ．

14. 难度：中等

函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=    ．

15. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a₂₀₁₀都为正数，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=1，则的最小值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．
（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；
（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的大小．

18. 难度：中等

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

19. 难度：中等

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
设a_ij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．数表中第i行共有2^i-1个正整数．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），试比较A_n与n²+n的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x²=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21. 难度：中等

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．