Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

Answer

（Ⅰ）要建立矩形面积模型，则只须表示出AB，BC即可，易知点M为的中点，则有OM⊥AD．设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，.．再用面积公式求解．
（Ⅱ）由（I）由，确定．再利用正弦函数最值求解．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ.．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R2（2sinθcosθ-2sin2θ）
=R2（sin2θ-1+cos2θ）=，．
（Ⅱ）因为，则．
所以当，即时，S有最大值．
=．
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2．