2011-2012学年浙江省杭州市西湖高级中学高三数学周练试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

2. 难度：中等

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．4
D．3

3. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（ ）

A．8
B．5
C．3
D．2

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A．
B．（2-，2+）
C．[1，3]
D．（1，3）

5. 难度：中等

设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

6. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

7. 难度：中等

若函数f（x）=，若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

8. 难度：中等

在棱长都为2的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，线段AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

直线l经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截y轴所得到的弦长为4，则圆的半径为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

f'（x）是函数的导函数，若函数y=f[f'（x）]在区间[m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-1，0]
B．[0，1]
C．[-1，1]
D．R

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

12. 难度：中等

若不等式-4＜2x-3＜4，与不等式x²+px+q＜0的解集相同，则p+q的值为    ．

13. 难度：中等

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是     ．

14. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知正实数x，y满足xy=1，则（+y）（+x）的最小值为    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x在区间（a²-5，a）上有最大值，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁₀=0，则有等式：a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则有等式    成立．

三、解答题

18. 难度：中等

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量（件）		1	2	3
频数	1	5	9	5

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．