2007-2008学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．异面

2. 难度：中等

过点P（2，1）且被圆C：x²+y²-2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（ ）
A．3x-y-5=0
B．3x+y-7=0
C．x-3y+5=0
D．x+3y-5=0

3. 难度：中等

若θ为三角形的一个内角，且，则曲线x²sinθ+y²cosθ=1是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

4. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面α外一点，且PA=PB=PC，则P在α上的射影一定是△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心

5. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，∠F₁PF₂=90°若△F₁PF的面积为1，则a的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

6. 难度：中等

与圆C：x²+（y+5）²=3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．6条

7. 难度：中等

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2-2）a万元
B．5a万元
C．（2+1）a万元
D．（2+3）a万元

8. 难度：中等

直线ax+by+b-a=0与圆x²+y²-x-2=0的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．与a、b的取值有关

9. 难度：中等

设x、y∈R，集合A={（x，y）|x²-y²=1}，B={（x，y）|y=t（x+2）+3}，若A∩B为单元素集，则t值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若双曲线与圆x²+y²=1有公共点，则实数k的取值范围为    ．

12. 难度：中等

已知正方体的棱长为1，则过A₁C₁且与BD₁平行的截面面积为    ．

13. 难度：中等

直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为    ．

14. 难度：中等

正方形ABCD的两对角线AC与BD交于O，沿对角线BD折起，使∠AOC=90°对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角，其中正确的结论是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

16. 难度：中等

已知双曲线C₁和椭圆C₂：有公共的焦点，它们的离心率分别是e₁和e₂，且，求双曲线C₁的方程．

17. 难度：中等

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

19. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

20. 难度：中等

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离．