Question

直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为    ．

Answer

设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程．
【解析】
设椭圆方程为：
a＞b＞0
c=1，a2-b2=c2=1
设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上
，
﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+6m+9﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2
﹙2a2-1﹚m2+6a2m+10a2-﹙a2﹚2=0
△=﹙6a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙10a2-a4﹚≥0
36a4-80a4++40a2+8a6-4a4≥0
-48a2+40+8a4≥0，a4-6a2+5≥0
﹙a2-5﹚﹙a2-1﹚≥0
a2≤1或 a2≥5
∵c2=1，a2＞c2
∴a2≥5，长轴最短，即a2=5
b2=a2-1=4
所以：所求椭圆方程为：．
故答案为：．