2010-2011学年重庆市南开中学高三（上）1月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x|1＜x＜4，x∈N}的真子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若=（1，2），=（-1，1），k与共线，则k的值是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

3. 难度：中等

直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=n（n∈N*），则a₁₀₀的值为（ ）
A．5050
B．5051
C．4950
D．4951

5. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．，x∈R
B．，x∈R
C．，x∈R
D．，x∈R

6. 难度：中等

下列关于实数x的不等关系中，恒成立的是（ ）
A．x+
B．x²+1＞2
C．
D．|x-1|-|x+2|≤3

7. 难度：中等

过椭圆C：=1的左焦点作直线l⊥x轴，交椭圆C于A，B两点，若△OAB（O为坐标原点）是直角三角形，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设f（x）=  的反函数为f^-1（x），若f^-1=n，则f（n+4）=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

9. 难度：中等

已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2010）
B．（1，2011）
C．（2，2011）
D．[2，2011]

10. 难度：中等

若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若，则=    ．

12. 难度：中等

若双曲线=1的渐近线与方程为（x-2）²+y²=3的圆相切，则此双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则=    ．

14. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且a+b=2，若S=，则S的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（1，cosx），=（，-sinx）
（1）当x∈[0，]时，若，求x的值；
（2）定义函数f（x）=，x∈R，求f（x）的最小正周期及最大值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知点A（2，0）关于直线l₁：x+y-4=0的对称点为A₁，圆C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）经过点A和A₁，且与过点B（0，-2）的直线l₂相切．
（1）求圆C的方程；（2）求直线l₂的方程．

19. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）-x²+ax+2．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）令a=-1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx-x²．若对任意x₁∈（-1，+∞），总存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为N、M，点N到上准线的距离为4，且椭圆的离心率为，若点P为一动点，满足=•，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点N作直线l与曲线C交于点A、B，分别以A、B为切点作曲线C的切线，其交点为Q，求的值．

21. 难度：中等

函数f（x）=（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{-}的项中仅-最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：++…+＜．