2009-2010学年江苏省盐城市东台市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

的定义域是   

2. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

4. 难度：中等

已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts时的速度为v（t）=t²+3（m/s），则t=3s时轿车的瞬时加速度为    m/s²

5. 难度：中等

设，且、夹角120°，则=    ．

6. 难度：中等

若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=    ．

7. 难度：中等

阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=    ，i=    ．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）

8. 难度：中等

某中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方
法，从学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=x-lnx的单调减区间为    ．

10. 难度：中等

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=    ，b=    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是    ．

12. 难度：中等

如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是    ．

13. 难度：中等

已知正四棱锥P-ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是    ．

14. 难度：中等

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4C的值．

16. 难度：中等

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，，AB=AC．
（I）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（II）证明：AD⊥CE．

17. 难度：中等

已知动点C（x，y）到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的倍．
（Ⅰ） 试求点C的轨迹方程；
（Ⅱ） 试用你探究到的结果求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水），游泳池的水深经常变化，已知泰州某浴场的水深y（米）是时间t（0≤t≤24），（单位小时）的函数，记作y=f（t），下表是某日各时的水深数据经长期观测的曲线y=f（t）可近似地看成函数y=Acosωt+b

t（时）		3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	2 5	2 0	15	20	249	2	151	199	2 5

（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动．

19. 难度：中等

已知函数（其中a＞0且a≠1，a为实数常数）．
（1）若f（x）=2，求x的值（用a表示）；
（2）若a＞1，且a^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围（用a表示）．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有成立，求S_n．

21. 难度：中等

圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．
（1）把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过圆O₁，圆O₂交点的直线的直角坐标方程．

22. 难度：中等

二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．

23. 难度：中等

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此几何体的体积．

24. 难度：中等

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；并用数学归纳法证明．