2008-2009学年广东省实验中学高二模块考试数学试卷（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若f（x）=e^x，则=（ ）
A．e
B．-e
C．2e
D．-2e

2. 难度：中等

已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+…+=2（+…+）时，若已假设n=k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A．n=k+1时等式成立
B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立
D．n=2（k+2）时等式成立

3. 难度：中等

函数y=x³的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-∞，+∞）
D．（-∞，0）∪（0，+∞）

4. 难度：中等

若复数z=a²-1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则的虚部为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

函数处的切线方程是（ ）
A．4πx+16y-π²=0
B．4πx-16y-π²=0
C．4πx+8y-π²=0
D．4πx-8y-π²=0

6. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若f（x）=x³+2ax²+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A．-a＜a＜2
B．a＞2或a＜-1
C．a≥2或a≤-1
D．a＞1或a＜-2

8. 难度：中等

点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设f（x）=，则∫²f（x）dx=    ．

10. 难度：中等

极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则线段AB的长度为    ．

11. 难度：中等

若f（x）=-x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₈（8）=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知f（x）=∫₁^x（4t³-）dt求f（1-i）•f（i）．

14. 难度：中等

设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[-，]的最大值和最小值．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}满足：．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时4aS_n＜b_n恒成立．

四、填空题

16. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，对于b_n=（a₁+a₂+..+a_n），则数列{b_n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c_n}是各项都为正数的等比数列，对于d_n＞0，则d_n=    时，数列{d_n}也是等比数列．

17. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为    ．

五、解答题

18. 难度：中等

设点P在曲线y=x²上，从原点向A（2，4）移动，如果直线OP，曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁、S₂．
（Ⅰ）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标和最小值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）证明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）试比较+…+与1的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

已知点，点B为（x，ln（x+1）），向量，令，．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在x∈（0，+∞）时恒成立，求整数k的最大值．