Question

已知点，点B为（x，ln（x+1）），向量，令，．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在x∈（0，+∞）时恒成立，求整数k的最大值．

Answer

（I）先求出向量，再利用向量的数量积求出f（x）的表达式，最后对其求导，求出f′（1）的值即可得到函数y=f（x）的解析式；
（II）将原恒成立问题通过分离参数转化成即在x∈（0，+∞）时恒成立，只要求出左式表示的函数的最小值即可．最后利用导数研究函数的单调性即得整数k的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵．
∴，∴，∴f（x）=ln（x+1）+x．
（Ⅱ）∵时恒成立，
即在x∈（0，+∞）时恒成立，
令，所以h（x）的最小值大于k．
∵，记φ（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），则，
∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．
又φ（2）=1-ln3＜0，φ（3）=2-2ln2＞0，
∴φ（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）．
当x＞a时，φ（x）＞0，h′（x）＞0，
当0＜x＜a时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）min=h（a）
=，所以k=3．