2010-2011学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin240°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a₃=6，则S₄的值为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9

3. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有（ ）

A．75辆
B．120辆
C．180辆
D．270辆

5. 难度：中等

点P（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点P（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

6. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12
B．6
C．4
D．2

7. 难度：中等

已知函数，那么下面结论正确的是（ ）
A．f（x）在[0，x]上是减函数
B．f（x）在[x，π]上是减函数
C．∃x∈[0，π]，f（x）＞f（x）
D．∀x∈[0，π]，f（x）≥f（x）

8. 难度：中等

已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（ ）
A．kx+y+k=0
B．kx-y-1=0
C．kx+y-2=0
D．kx+y-k=0

二、填空题

9. 难度：中等

若直线l经过点（1，2）且与直线2x+y-1=0平行，则直线l的方程为    ．

10. 难度：中等

某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S为    ．

11. 难度：中等

椭圆的右焦点F的坐标为    ．则顶点在原点的抛物线C的焦点也为F，则其标准方程为    ．

12. 难度：中等

在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到．那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为    ．

13. 难度：中等

已知向量，若与垂直，则=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若点A（-1，3），则d（A，O）=    ；已知B（1，0），点M为直线x-y+2=0上动点，则d（B，M）的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数，x∈R．
（I）求函数f（x）的周期和值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求角C的值．

16. 难度：中等

某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

	围棋社	戏剧社	书法社
高中	45	30	a
初中	15	10	20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人．
（I） 求这三个社团共有多少人？
（II） 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率．

17. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，点F为DC₁的中点．
（I） 证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）证明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．

18. 难度：中等

已知函数，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，求a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

19. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（I）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（II）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

20. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，…，2n（n∈N^*）}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性质P？并说明理由．
（II）若集合S具有性质P，试判断集合 T={（2n+1）-x|x∈S）}是否一定具有性质P？并说明理由．