Question

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（I）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（II）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer

根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），可以设，和圆x2+y2=4联立，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0，因为直线AP经过点A（-2，0），M（x1，y1），所以-2，x1是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．
【解析】
根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为．（5分）
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设，（6分）
和圆x2+y2=4联立，得到，
代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x1，y1），所以-2，x1是方程的两个根，
所以有，，（8分）
代入直线方程得，．（9分）
同理，设，联立方程有，
代入消元得到（4+t2）x2-4t2x+4t2-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，
代入得到．（11分）
若x1=1，则t2=12，此时
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，
所以有，（13分）
所以kMQ=kNQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）