Question

已知集合A={1，2，3，…，2n（n∈N^*）}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性质P？并说明理由．
（II）若集合S具有性质P，试判断集合 T={（2n+1）-x|x∈S）}是否一定具有性质P？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）对于集合B，对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10与b2=10+m，
使得|b1-b2|=m成立，故B不具有性质P．对于集合C，可取m=1，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，
都有|c1-c2|=≠m，故集合C 有性质 P．
（Ⅱ） 任取t=（2n+1）-x∈T，其中x∈S，可得t∈A，所以，T⊆A，对S中的任意一对元素s1，s2，都有
|s1-s2|≠m，从集合T中任取元素t1=2n+1-x1，t2=2n+1-x2，都有|t1-t2|=|x1-x2|，由|x1-x2|≠m，
可知|t1-t2|≠m，故集合T具有性质P．
【解析】
（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，，19，20}，B={x∈A|x=10，11，12，，19，20}不具有性质P．
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质 P．
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．
（Ⅱ）若集合S具有性质P，那么集合T={（2n+1）-x|x∈S}一定具有性质P．
首先因为T={（2n+1）-x|x∈S}，任取t=（2n+1）-x∈T，其中x∈S，
因为 S⊆A，所以，x∈{1，2，3，，2n}，从而，1≤（2n+1）-x≤2n，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，
对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t1=2n+1-x1，t2=2n+1-x2，
其中，x1，x2∈S，都有|t1-t2|=|x1-x2|； 因为 x1，x2∈S，所以有|x1-x2|≠m，即|t1-t2|≠m，
所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性质P．