2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

2. 难度：中等

若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

3. 难度：中等

圆：x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．

4. 难度：中等

过直线y=x上的一点作圆（x-5）²+（y-1）²=2的两条切线l₁，l₂，当直线l₁，l₂关于y=x对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

7. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

8. 难度：中等

在正方形SG₁G₂G₃中，E、F分别是G₁G₂及G₂G₃的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G₁、G₂、G₃三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（ ）

A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面

9. 难度：中等

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²+1＞0．则¬p是    ．

12. 难度：中等

如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a=    ．

13. 难度：中等

若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于    ．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=4，BC=CC₁=，P是BC₁上一动点，则CP+PA₁的最小值是    ．

16. 难度：中等

已知平面内一点P∈{（x，y）|（x-2cosα）²+（y-2sinα）²=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），求的值．

18. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+2-m=0
（1）求证：不论m取何实数，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

19. 难度：中等

设多面体ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G为BC的中点．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

20. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，，
E为PC的中点．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的长；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的方程为=1（a＞b＞0），它的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，离心率e=，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（1，0），且，求直线l的方程．