2010-2011学年吉林省松原市长岭四中高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知直线l₁和l₂的夹角平分线为y=x，如果l₁的方程是ax+by+c=0，那么直线l₂的方程为（ ）
A．bx+ay+c=0
B．ax-by+c=0
C．bx+ay-c=0
D．bx-ay+c=0

3. 难度：中等

直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

4. 难度：中等

已知上一点P到左准线距离为8，则点P到右焦点的距离是（ ）
A．2
B．
C．
D．6

5. 难度：中等

若直线l：ax+by=1与圆C：x²+y²=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不能确定

6. 难度：中等

直线l：2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转，所得到的直线方程是（ ）
A．3x-y-6=0
B．x+3y-2=0
C．3x+y-6=0
D．x+y-2=0

7. 难度：中等

直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交
D．无数条直线不相交

8. 难度：中等

正四棱锥侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

直线a是平面α的斜线，b⊂α，a与b成60°的角，且b与a在α内的射影成45°的角，则a与平面α所成的角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹为（ ）
A．线段B₁C
B．线段BC₁
C．BB₁的中点与CC₁的中点连成的线段
D．BC的中点与B₁C₁的中点连成的线段

11. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知动点P到定点A（0，2）的距离比它到定直线y=-4的距离小2个单位，则P的轨迹方程为（ ）
A．y²=8
B．y²=4
C．y=x²
D．y=8x²

二、填空题

13. 难度：中等

渐近线为y=±x，且过点（2，2）的双曲线方程为    ．

14. 难度：中等

在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为    ．

15. 难度：中等

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA=2，PB=4，则AB的长是     ．

16. 难度：中等

一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的六个顶点），则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1：    ：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．

18. 难度：中等

某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A、B两种设备每月有效使用台时数为a（400≤a≤500）．求生产收入最大值的范围．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC=BC=1，AA₁=2，∠ACB=90°，M是A₁B₁ 的中点．
（1）求证：C₁ M⊥平面ABB₁ A₁
（2）求异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁是上底面对角线A₁C₁、B₁D₁的交点，体对角线A₁C交截面AB₁D₁于点P，求证：O₁、P、A三点在同一条直线上．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

22. 难度：中等

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直线l与圆C相切的条件；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程；
（3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值．