Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC=BC=1，AA₁=2，∠ACB=90°，M是A₁B₁ 的中点．
（1）求证：C₁ M⊥平面ABB₁ A₁
（2）求异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．

Answer

（1）由已知中的几何体ABC-A1B1C1 为直三棱柱，AC=BC=1，M是A1B1 的中点．结合直三棱柱的几何特征及等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，进而结合线面垂直的判定定理，易得到答案．
（2）设BC，BB1的中点分别为R、N连接RN，连接MN，由三角形中位线定理，及平行角定理得，∠MNR是异面直线A1B与B1C所成角或其补角，解三角形MNR，即可求出异面直线A1B与B1 C所成角的余弦值．
（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴AA1⊥面A1B1C1
又C1M⊂A1B1C1∴C1M⊥AA1（2分）∵A1C1=B1C1=1，M是A1B1的中点∴C1M⊥A1B1（4分）
又AA1∩A1B1=A1∴C1M⊥平面ABB1A1（6分）
（2）【解析】
设BC，BB1的中点分别为R、N连接RN，连接MN，则MN∥A1B，NR∥B1C
∴∠MNR是异面直线A1B与B1C所成角或其补角（9分）
设点P为AB的中点，连接MP，MR
在Rt△MPR中，MR==
在△MNR中，MN=A1B=，RN=B1C=，MR=
由余弦定理得：
cos∠MNR==（11分）
∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（12分）