2013年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（第2套）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（1+i）z=-2i，则复数z=（ ）
A．i
B．-i
C．-1+i
D．-1-i

2. 难度：中等

已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{0，4}
C．{2，4}
D．{0，2，4}

3. 难度：中等

“”是“直线x-y+k=0与圆“x²+y²=1相切”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若是夹角为的单位向量，且，，则=（ ）
A．1
B．-4
C．-
D．

5. 难度：中等

已知函数，若x是函数y=f（x）的零点，且0＜x₁＜x，则f（x₁）（ ）
A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0

6. 难度：中等

当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称

7. 难度：中等

已知m、n、l是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n；
③若n∥m，m⊂α，则n∥α；
④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）
A．②④
B．②③
C．③④
D．①③

8. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）

A．4π
B．
C．3π
D．2π

9. 难度：中等

若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．
C．lg（a-b）＞0
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，给出下列结论：
（1）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0    （2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁           （4）＞f（）
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

11. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，a₈=4，f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₈），f'（x）为函数f（x）的导函数，则f'（0）=（ ）
A．0
B．2⁶
C．2⁹
D．2¹²

12. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，若0≤ax+by≤2，则的取值范围为（ ）
A．[1，3]
B．[]
C．[]
D．[]

二、填空题

13. 难度：中等

定义某种运算S=a⊗b，运算原理如框图所示，则式子的值为    ．

14. 难度：中等

已知双曲线x²-ky²=1的一个焦点是（），则其离心率为    ．

15. 难度：中等

在等差数列{a_n} 中，a₂=4，a₄=12，则数列{a_n} 的前10项的和为    ．

16. 难度：中等

下列说法中正确的是    （把所有正确说法的序号都填上）．
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一个点；
③命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1≥0”；
④命题“函数f（x）在x=x处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈[0，]，，，求cos（α-β）的值．

18. 难度：中等

有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x²+y²=有公共点的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ANC；
（Ⅱ）求证：M是PC中点；
（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，证明：平面PBC⊥平面ADMN．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．

21. 难度：中等

已知数列{a_n} （n∈N^*）是首项为a，公比为q≠0的等比数列，S_n是数列{a_n} 的前n项和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅰ）当公比q取何值时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足：△ABC的周长为2+2，记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设E曲线W上的一动点，M（0，m），（m＞0），求E和M两点之间的最大距离．