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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足:△AB...

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足:△ABC的周长为2+2manfen5.com 满分网,记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲线W上是否存在这样的点P:它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设E曲线W上的一动点,M(0,m),(m>0),求E和M两点之间的最大距离.
(Ⅰ)由:△ABC的周长为2+2,得到两边BC与AC的长度和,又点A(-1,0),B(1,0),符合椭圆定义,所以W的方程可求; (Ⅱ)若线W上存在这样的点P:它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离,说明点P又在抛物线在y2=4x上,联立椭圆和抛物线方程即可得到点P的坐标; (Ⅲ)把动点E的坐标仅用y表示,然后直接写出E和M两点之间的距离,距离中只含有参数m,对m进行分类讨论求解距离的最大值. 【解析】 (Ⅰ)设C(x,y),∵△ABC的周长为,∴, 又|AB|=2,∴, 根据椭圆的定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为的椭圆(除去与x轴的两个交点). 从而,b2=a2-c2=1 ∴W的方程为(y≠0);    (Ⅱ)存在两个点和满足题意. 事实上,假设存在点P满足题意,则点P为抛物线y2=4x与曲线(y≠0)的交点, 由消去y得:x2+8x-2=0. 解得或(舍去). 把代人抛物线的方程得. 所以存在两个点和满足题意. (Ⅲ)设E(x,y),则由(y≠0)得x2=2-2y2(-1≤y≤1,且y≠0)=. 若-m<-1,即m>1时,当y=-1时,; 若-1≤-m<0,即0<m≤1时,当y=-m时,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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