Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ANC；
（Ⅱ）求证：M是PC中点；
（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，证明：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer

（I）利用线面平行的判定定理，由线线平行证线面平行即可；
（II）先证线面平行，再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M为PC的中点；
（III）先证AD与平面PBD的垂直性，再通过证明PB垂直于平面ADMN中的两条相交直线证线面垂直，由线面垂直证面面垂直即可．
证明：（Ⅰ）连结BD，AC，设AC∩BD=O，连结NO，
∵ABCD是平行四边形∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，
又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，
∴PD∥平面ANC．
（Ⅱ）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC
∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN．
∵平面PBC∩平面ADMN=MN，
∴BC∥MN，又N是PB的中点
∴M是PC的中点．
（Ⅲ）∵PA=AB，N是PB的中点，∴PB⊥AN，
∵BC⊥BD，AD∥BC，∴AD⊥BD，
∴PD⊥平面ABCD，AD⊂底面ABCD，
PD⊥AD，又PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，∴PB⊥AD
∵AD∩AN=A
∴PB⊥平面ADMN，PB⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN