2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z 满足（z-i）i=2+i，则 z=（ ）
A．-1-i
B．1-i
C．-1+3i
D．1-2i

2. 难度：中等

已知集合M{x|y=}，N={x|-3≤x≤1}，且M、N都是全集I的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|-≤x≤1}
B．{x|-3≤x≤1}
C．{x|-3≤x≤-}
D．{x|1≤x≤}

3. 难度：中等

执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图所示，图中曲线方程为y=x²-1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出平面区域G，如图所示，其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）．若使目标函数P=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（ ）

A．4
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a₁、b₁，且a₁+b₁=5，a₁＞b₁，a₁，b₁∈N^*（n∈N^*），则数列前10项的和等于（ ）
A．55
B．70
C．85
D．100

8. 难度：中等

关于二项式（x-1）²⁰¹³有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；
（2）该二项展开式中第六项为；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当x=2014时，（x-1）²⁰¹³除以2014的余数是2013．
其中正确命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如图，据此可以了解分数在[50，60）的频率为    ，并且推算全班人数为    ．

10. 难度：中等

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽    米．

11. 难度：中等

在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C=    ．

12. 难度：中等

己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为    ．

13. 难度：中等

若∃x∈R，使|x-a|+|x-1|≤4成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（θ为参数）和曲线C₂：ρ=1上，则|AB|的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC边为直径与AB交于点D，则三角形ACD的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的图象与y轴交于，它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和．
（1）求函数f（x）的解析式及m的值；
（2）若锐角θ满足，求f（θ）．

17. 难度：中等

高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为．
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率为多少？
（Ⅲ）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．

18. 难度：中等

已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a₄，a₅，a₆成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，证明．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，且，证明：；
（3）设对于任意的a∈（1，2），总存在，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．