Question

高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为．
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率为多少？
（Ⅲ）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer

（1）本题要应用分步计数原理，先排出参加单打的队员，由于代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，排出参加双打的队员，根据分步计数原理得到结果．
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．
（3）因为高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，由于先胜两盘的队获胜比赛结束，得到变量的可能取值，类似于第二问得到概率，写出分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知参加单打的队员有A32种方法，参加双打的队员有C21种方法．
∴根据分步计数原理得到
高三（1）班出场阵容共有A32•C21=12（种）．
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．
∴连胜两盘的概率为
（Ⅲ）ξ的取值可能为0，1，2．
．
．

∴ξ的分布列为

∴．