2013年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数1-2i的虚部为（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

2. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4}，则（ ）
A．U=A∪B
B．U=（∁_UA）∪B
C．U=A∪（∁_UB）
D．U=（∁_UA）∪（∁_UB）

3. 难度：中等

直线3x+4y-9=0与圆（x-1）²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．直线与圆相交且过圆心
D．直线与圆相交但不过圆心

4. 难度：中等

若函数y=f（x）是函数y=2^x的反函数，则f（2）的值是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0

5. 难度：中等

已知平面向量=（-2，m），=，且（-）⊥，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（ ）
A．-3
B．0
C．1
D．3

7. 难度：中等

某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，为了得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

9. 难度：中等

“m＜2”是“一元二次不等式x²+mx+1＞0的解集为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

假设关于某种汽车的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如表统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

根据上表可得回归方程，据此模型估计使用年限为10年时，维修费用约为     万元．（结果保留两位小数）

13. 难度：中等

已知经过同一点的n（n∈N^*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线．若这n个平面将空间分成f（n）个部分，则f（3）=    ，f（n）=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选讲选做题）
在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，，则AB的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求cos∠POQ的值．

17. 难度：中等

沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．
（1）求a，b的值；
（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）求满足的最大正整数n的值．

20. 难度：中等

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点A（2，3）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线交于B、C两点，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知n∈N^*，设函数．
（1）求函数y=f₂（x）-kx（k∈R）的单调区间；
（2）是否存在整数t，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．