Question

已知n∈N^*，设函数．
（1）求函数y=f₂（x）-kx（k∈R）的单调区间；
（2）是否存在整数t，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=f2（x）-kx=1-x+-kx，求导数y′，按△≤0，△＞0两种情况讨论，△≤0时y′≤0，可知函数在R上的单调性；当△＞0时解不等式y′＞0，y′＜0即得函数的单调区间；
（2）先求n=1时方程fn（x）=0的根，得区间[1，2]，理由如下：n=1时求出方程的根，易判断；当n≥2时，求出fn′（x），讨论可得x=-1，0时f′n（x）＜0，x≠-1，0时，利用等比数列求和公式可化简f′n（x），此时也可判断f′n（x）＜0，从而可得fn（x）在（-∞，+∞）上单调递减．而fn（1）0，根据零点存在定理及函数单调性知，方程fn（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，综述可得结论；
【解析】
（1）因为y=f2（x）-kx=1-x+-kx，
所以y′=-1+x-x2-k=-（x2-x+k+1），
方程x2-x+k+1=0的判别式△=（-1）2-4（k+1）=-3-4k，
当k≥-时，△≤0，y′=-（x2-x+k+1）≤0，
故函数y=f2（x）-kx在R上单调递减；
当k＜-时，方程x2-x+k+1=0的两根为，，
则x∈（-∞，x1）时，y′＜0，x∈（x1，x2）时，y′＞0，x∈（x2，+∞）时，y′＜0，
故函数y=f2（x）-kx（k∈R）的单调递减区间为（-∞，x1）和（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）；
（2）存在t=1，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解，理由如下：
当n=1时，f1（x）=1-x，令f1（x）=1-x=0，解得x=1，
所以关于x的方程f1（x）=0有唯一实数解x=1；
当n≥2时，由fn（x）=1-x+-+…-，
得fn′（x）=-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2，
若x=-1，则f′n（x）=f′n（-1）=-（2n-1）＜0，
若x=0，则f′n（x）=-1＜0，
若x≠-1且x≠0时，则f′n（x）=-，
当x＜-1时，x+1＜0，x2n-1+1＜0，f′n（x）＜0，
当x＞-1时，x+1＞0，x2n-1+1＞0，f′n（x）＜0，
所以f′n（x）＜0，故fn（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
因为fn（1）=（1-1）+（）+（）+…+（）＞0，
fn（2）=（1-2）+（）+（-）+…+（-）
=-1+（）•22+（）•24+…+
=-1-•22--…-＜0，
所以方程fn（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，
综上所述，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[1，2]上有唯一实数解，所以t=1．