《导数及其应用》2013年高三数学一轮复习单元训练（浙江大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+c（a≠0），若，则x的值为（ ）
A．
B．f（x）a
C．
D．mm

2. 难度：中等

函数f（x）=（x³+1）（x³+2）…（x³+100）在x=-1处的导数值为（ ）
A．0
B．100!
C．3•99!
D．3•100!

3. 难度：中等

曲线y=-x²+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x-1
B．y=-x+1
C．y=2x-2
D．y=-2x+2

4. 难度：中等

△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

（1+cosx）dx等于（ ）
A．π
B．2
C．π-2
D．π+2

6. 难度：中等

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i…＜x_n=b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x_i-1，x_i]上任取一点ξ_i（i=1，2，…，n），作和式（其中△x为小区间的长度），那么S_n的大小（ ）
A．与f（x）和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξ_i的取法无关
B．与f（x）和区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξ_i的取法无关
C．与f（x）和区间[a，b]和分点的个数n，ξ_i的取法都有关
D．与f（x）和区间[a，b]和ξ_i取法有关，与分点的个数n无关

7. 难度：中等

∫¹|x²-4|dx=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx⁵根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f（x）dx的值，结果是（ ）
A．+
B．π
C．1
D．0

9. 难度：中等

等于（ ）
A．1
B．e-1
C．e+1
D．e

10. 难度：中等

已知函数f（x），当自变量由x变化到x₁时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数（ ）
A．在x处的变化率
B．在区间[x，x₁]上的平均变化率
C．在x₁处的变化率
D．以上结论都不对

11. 难度：中等

已知f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

的值等于（ ）
A．e²-e^-2
B．2e²
C．e²+e^-2-2
D．2e²-2

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的面积是    ．

14. 难度：中等

    ．

15. 难度：中等

已知t＞1，若，则t=    ．

16. 难度：中等

求=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为P=（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=）

18. 难度：中等

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．
元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程．

20. 难度：中等

某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

21. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

22. 难度：中等

定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N⁺时，求证：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．