2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷16（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2^a}，B={a，b}，若，则A∪B为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则等于（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．-i
D．-1-i

3. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

4. 难度：中等

“a=1”是“直线ax-y=0和直线x+（1-a）y+3=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直
B．过P有且只有一条直线与a、b都平行
C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直
D．过P有且只有一个平面与a、b都平行

6. 难度：中等

已知a＜0，b＜0，a+b=-2若，则c的最值为（ ）
A．最小值-1
B．最小值-2
C．最大值-2
D．最大值-1

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S₂₀₁₃等于（ ）
A．1008
B．2013
C．1006.5
D．1006

8. 难度：中等

函数的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆+y²=1和双曲线-y²=1，P是它们的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．2
B．3
C．1
D．4

10. 难度：中等

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

11. 难度：中等

某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有    名学生．

12. 难度：中等

经过点M（l，2）的直线l与圆（x-1）²+（y+2）²=64相文于A、B两点，则|AB|的最大值等于    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c：b=8：5，△ABC的面积为40，则外接圆的半径为    ．

14. 难度：中等

右程序框图中，当n∈N^*（n＞1）时，函数f_n（x）表示函数f_n-1（x）的导函数．若输入函数f₁（x）=sinx+cosx，则输出的函数f_n（x）可化为    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足，则x²+y²的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³+x+sinx+1，若f（a）+f（a+1）＞2，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为    ．
①设，均为单位向量，若|+|＞1，则
②函数f （x）=xsinx+l，当x₁，x₂∈[]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：

x	…							…
y	…		1			-1		…

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列     
（2）求{S_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

如图，一张平行四边形的硬纸片ABCD中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC折起，使点C到达平面ABCD外点C的位置．
（Ⅰ）△BDC折起的过程中，判断平面ABCD与平面CBC的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）当△ABC为等腰三角形，求此时二面角A-BD-C的大小．

21. 难度：中等

设函数．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x-1）²+y²=1上的动点，求|RT|的最大值．