2012年四川省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（1+x）⁷的展开式中x²的系数是（ ）
A．42
B．35
C．28
D．21

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

函数在x=3处的极限是（ ）
A．不存在
B．等于6
C．等于3
D．等于0

4. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=a^x-（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7. 难度：中等

设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．且

8. 难度：中等

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A．
B．
C．4
D．

9. 难度：中等

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A．1800元
B．2400元
C．2800元
D．3100元

10. 难度：中等

如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

方程ay=b²x²+c中的a，b，c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A．60条
B．62条
C．71条
D．80条

12. 难度：中等

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则=（ ）
A．0
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁_UA）∪（∁_UB）=    ．

14. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是    ．

15. 难度：中等

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是    ．

16. 难度：中等

记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）

17. 难度：中等

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

函数f（x）=6cos²sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）=，且x∈（-），求f（x+1）的值．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

21. 难度：中等

如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．