2012年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，1}，则（ ）
A．1+i∈A
B．1+i²∈A
C．1+i³∈A
D．1+i⁴∈A

2. 难度：中等

已知命题P：“∀x∈R，x²+2x+3≥0”，则命题P的否定为（ ）
A．∀x∈R，x²+2x+3＜0
B．∃x∈R，x²+2x+3≥0
C．∃x∈R，x²+2x+3＜0
D．∃x∈R，x²+2x+3≤0

3. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

4. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3^x+m（m为常数），则函数f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若双曲线-y²=1的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（ ）

A．-1
B．1
C．
D．0

8. 难度：中等

某几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．3π
B．4π
C．6π
D．10π

9. 难度：中等

已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若a₂₂=4，则所有这九个数的和为（ ）
A．16
B．32
C．36
D．40

二、解答题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）．右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有    天“pm2.5”含量不达标．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知A=60°，b=4，c=5，则sinB=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 直线被圆（θ为参数，θ∈[0，2π））所截得的弦长为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，，则AC的长为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（π-x）-cosx，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若，求sinα+cosα的值．

17. 难度：中等

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

18. 难度：中等

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P-DEF的体积；
（3）求点E到平面PDF的距离．

19. 难度：中等

已知直线l：y=x+m，m∈R．
（1）若以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；
（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比q＞1的等比数列，且a₁+a₂=40，a₁a₂=256，又 b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n+1-T_n=b_n（n∈N^*），且T₁=0．求证：对∀n∈N^*，n≥2有．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对∀x∈R，有成立，求实数a的取值范围．