Question

已知直线l：y=x+m，m∈R．
（1）若以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；
（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C的方程．

Answer

（1）解法1：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；
解法2：利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；
（2）解法1：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；
解法2：利用导数求切线，从而可直线l的方程和抛物线C的方程．
【解析】
（1）解法1：依题意得点P的坐标为（-m，0）．-------（1分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，
∴MP⊥l．，解得m=-1．----（3分）
∴点P的坐标为（1，0）．
设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，------------------------------------（5分）
∴所求圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=2．--------------------------------------（6分）
解法2：设所求圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=r2，--------------------------------（1分）
依题意知点P的坐标为（-m，0）．----------------------------------------------（2分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切于点P（-m，0），
∴解得-------------------------------------------（5分）
∴所求的圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=2．------------------------------------（6分）】
（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．----------------------------（7分）
由得mx2+x+m=0，（m≠0）-----------------------------------（9分）
△=1-4m2，--------------------------------------------------------------（10分）
∵直线l'与抛物线相切
∴△=0，解得．----------------------------------------------------（12分）
当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，-------------（13分）
当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=-2y．----------（14分）
解法2：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．-----（7分）
设直线l'与抛物线相切的切点为（x，y），---------------------------（8分）
由y=mx2得y'=2mx，则2mx=-1---①-----------------------------------（10分）
y=-x-m------②．---------③
①②③联立得，----------------------------（12分）
当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，-------------（13分）
当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=-2y．----------（14分）】