Question

已知数列{a_n}是公比q＞1的等比数列，且a₁+a₂=40，a₁a₂=256，又 b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n+1-T_n=b_n（n∈N^*），且T₁=0．求证：对∀n∈N^*，n≥2有．

Answer

（1）解法1：根据a1+a2=40，a1a2=256，且q＞1，确定数列的a1、a2的值，从而可求公比，进而可求数列{an}的通项，利用bn=log2an，可求数列{bn}的通项公式；
解法2：根据a1+a2=40，a1a2=256，且q＞1，确定数列的a1、a2的值，从而可求公比，进而根据bn=log2an，可得{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{bn}的通项公式；
（2）当n≥2时，Tn-Tn-1=bn-1=2n-1，根据Tn=（Tn-Tn-1）+（Tn-1-Tn-2）+…（T3-T2）+（T2-T1）+T1，可求Tn的值，进而可得，由此可证结论．
【解析】
（1）解法1：∵a1+a2=40，a1a2=256，且q＞1，解得---------------（2分）
∴，∴---------------------------------（4分）
∴bn=log2an=--------------------------------------------（6分）
解法2：由a1+a2=40，a1a2=256，且q＞1得，∴------------------------------------（2分）
∴，----------------------------（3分）
又b1=log2a1=log28=3，-------------------------------------------------------（4分）
∴{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------（5分）
∴bn=3+（n-1）×2=2n+1；----------------------------------------------------（6分）】
（2）当n≥2时，Tn-Tn-1=bn-1=2n-1，
∴Tn=（Tn-Tn-1）+（Tn-1-Tn-2）+…（T3-T2）+（T2-T1）+T1
==（n-1）（n+1）；---------------（8分）
∵当n≥2时，，----------------------------（10分）
∴==
=．------（12分）
∵n≥2，∴
∴．
又
∴
即对∀n∈N*，n≥2，．----------------------------------------------（14分）