2010-2011学年湖北省孝感市高三第一次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x||x|≥3}，集合，则M∩N=（ ）
A．{x|-4≤x≤-3或3≤x≤4}
B．{-2，-1，1，2}
C．{-4，0，4}
D．{-4，4}

2. 难度：中等

设复数z₁=1-i，z₂=a+2i，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为（ ）
A．6
B．-6
C．2
D．-2

3. 难度：中等

设p：成等比数列；q：lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则条件p是条件q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既木充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数=（ ）
A．13
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（）+2的图象按=（），平移后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

2010年广州亚运会期间，某国代表团计划在比赛全部结束后，顺便从7个他们最喜爱的中国城市里选择5个进行游览．如果M、N为必选城市，并且在游览过程中必须按先M后N的次序经过M、N两城市（游览M、N两城市的次序可以不相邻），则他们可选择的不同游览线路有（ ）
A．120种
B．240种
C．480种
D．600种

7. 难度：中等

函数f（x）是定义在R上的增函数，y=f^-1（x）是它的反函数，若f（3）=0，f（2）：a，f^-1（2）=b，f^-1（0）=c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c

8. 难度：中等

已知向量，满足||=||=2，•=0，若向量向量与-共线，则|+|的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数叫做函数y=f（x）的零点，设x是函数f（x）=x²-|log₂x|的一个零点，则x所在的一个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）

10. 难度：中等

已知点P为双曲线的右支上一点，F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，若，且△PF₁F₂的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A．+1
B．+1
C．+1
D．+1

二、解答题

11. 难度：中等

若（展开式的第3项为56，则=    ．

12. 难度：中等

已知实数满足约束条件，则z=x-y的最大值为    ．

13. 难度：中等

如图，正四面体ABCD的外接球球心为D，E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为    ．

14. 难度：中等

若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

对于正整数j，设a_j，k=j-3（k-1）（k=1，2，3…），如a_3，4=3-3（4-1）=-6，对于正数m、n，当n≥2，m≥2时，设b（j，n）=a_j，1+a_j，2+a_j，3+…+a_j，n，则b（1，n）=    ；设S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则S（5，6）=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

袋子中装有大小形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足m＞n≥2且m+n≤l0（m，n∈N⁺），若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．
（I）求m，n的值；
（Ⅱ）从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为f，求f的分布列与数学期望．

18. 难度：中等

在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．

19. 难度：中等

甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于任意x≥0，存在两个函数f（x），g（x）．当甲公司投入x万元用于产品的宣传时，若乙公司投人的宣传费用小于f（x）万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入x万元用于产品的宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g（x）万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险．
（I）请分别解释f（0）=17与g（0）=19的实际意义；
（Ⅱ）当时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用．问甲、乙两公司各应投人多少宣传费用？

20. 难度：中等

已知函数
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设S_n是数列a_n的前n项和，点P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直线y=2x-2上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）记，数列b_n的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列c_n满足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求数列c_n中的最大项．