Question

已知函数
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域；
（Ⅱ） 由题意可知f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（Ⅰ）求出的f（x）的单调区间，根据f（x）的增减性即可求出f（x）的最小值，进而列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
=，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=，
由于“对任意x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值”
即g（x）min≤，（*）
又g（x）=x2-2mx+4，x∈[1，2]，
∴①当m＜1时，g（x）min=g（1）=5-2m＞0与（*）式矛盾，
②当m∈[1，2]时，g（x）min=4-m2≥0，与（*）式矛盾，
③当m＞2时，g（x）min=g（2）=8-4m≤，
解得m，
综上知，实数m的取值范围是[）．