2012-2013学年江苏省南通市高三第三次调研测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则      ．

2. 难度：简单

设复数满足（是虚数单位），则复数的模为      ．

3. 难度：简单

“”是“”成立的      条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）

4. 难度：简单

根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为      ．

5. 难度：简单

在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为     ．

6. 难度：简单

从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为       ．

7. 难度：简单

【江苏省南通市2013届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为      ．

8. 难度：简单

函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为      ．

9. 难度：简单

各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式a_n=      ．

10. 难度：中等

已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为      ．

11. 难度：简单

过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为      ．

12. 难度：简单

在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．若，则的值为      ．

13. 难度：中等

已知实数a₁，a₂，a₃，a₄满足a₁a₂a₃，a₁a₄²a₂a₄a₂，且a₁a₂a₃，则a₄的取值范围是     ．

二、解答题

14. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

15. 难度：中等

在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．

（1）求角的大小；

（2）设，求T的取值范围．

16. 难度：困难

某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为．）

（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；

（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．

分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

18. 难度：困难

已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比

数列．

（1）若，，求数列的前项和；

（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．

19. 难度：中等

设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，

则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．

（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；

（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．