2012-2013学年北京市海淀区高三5月期末练习（二模）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

集合，，则(    )

A．                                  B．                                   C．                              D．

2. 难度：简单

已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为(    )

A．               B．               C．或               D．或

3. 难度：简单

如图，在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为(    )

A．          B．           C．         D．

4. 难度：简单

某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为(    )

A．180                       B．240                                 C．276                                 D．300

5. 难度：简单

在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的(    )

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为(    )

A.               B.                  C.                         D.

7. 难度：中等

双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为(    )

A．              B．              C．              D．

8. 难度：中等

若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，

则下列结论中错误的是(    )

A. 若，则可以取3个不同的值        

B. 若，则数列是周期为的数列

C.且，存在，是周期为的数列  

D.且，数列是周期数列

二、填空题

9. 难度：简单

在极坐标系中，极点到直线的距离为_______.

10. 难度：中等

已知，则按照从大到小排列为______.

11. 难度：简单

直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，则直线与直线 的交点坐标为____.

12. 难度：简单

在中，，则

13. 难度：中等

正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.

14. 难度：简单

在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线.

(I) 给出下列三个结论：

①曲线关于原点对称；

②曲线关于直线对称；

③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；

其中，所有正确结论的序号是_____;

(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）求函数的定义域；

(Ⅱ) 求函数的单调递增区间.

16. 难度：中等

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为.

(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；

（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.

17. 难度：困难

如图1，在直角梯形中，，，，

. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．

(I)求证：平面平面；

(II)求直线与平面所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.

18. 难度：困难

已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.

（I）当时,求函数的单调区间；

（II）当时, 若,使得, 求实数的取值范围.

19. 难度：困难

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.

（I）求椭圆的方程；

（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.

20. 难度：中等

设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；

表2

(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.