Question

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.

（I）求椭圆的方程；

（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.

Answer

(I)  ； (II)  ．

【解析】

试题分析：(I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得 ，进而写出方程； (II) ΔAOB的面积可以用 ，所以本题需要用弦长公式表示AB的长度，用点到之间的距离公式表示坐标原点O到直线的距离，而这些都需要有直线的方程作为前提条件。所以本题应先考虑设出直线AB的方程．此外，设方程的过程中，注意对于特殊情形的讨论．

试题解析：

(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为                                      4分

(II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为，

所以，当且仅当时，取得最大值为        7分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以，代入得到

当,             即                         

方程有两个不同的解

又，                                        8分

所以，

又，化简得到                      

代入，得到                                                     10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到                                              12分        

因为，所以当时，即时，取得最大值

综上，面积的最大值为 ．

考点：直线与圆锥曲线的位置关系．