Question

设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；

表2

(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

Answer

(I) 详见解析； (II) 或 ；(Ⅲ) 能，理由详见解析．

【解析】

试题分析：：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II）  每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，列出不等关系解得a，b范围进而分情况进行第二次操作；②如果操作第一行，易由条件得a的值；（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负数变为正数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加.

【解析】
法1：

法2：

法3：

                                                                                                       3分

 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;

①如果首先操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，

这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，

所以 或

当时，则接下来只能操作第一行，

此时每列之和分别为

必有，解得

当时，则接下来操作第二行

此时第4列和为负，不符合题意.                                              6分    

② 如果首先操作第一行

则每一列之和分别为，，，

当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉

当时，，至少有一个为负数，

所以此时必须有，即，所以或

经检验，或符合要求

综上：                                                      9分

 （III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：

记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，则。记

．

按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。                                 13分

考点：推理与证明．