福建省泉州市2011-2012学年高三3月质量检查试题数学理（2012泉州质检）

一、选择题

1. 难度：简单

 复数等于

       A． B． C．   D．

2. 难度：简单

 已知集合，，则等于

A.    B.     C.    D.

3. 难度：中等

 已知，则等于

　   　A．　　　B．　　　C．5　　D．25　

4. 难度：中等

 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的值为，那么判断框中实数的取值范围是

A．        B．

    C．        D．

5. 难度：中等

 下列四个条件：

①，，均为直线；  ②，是直线，是平面；

③是直线，，是平面；④，，均为平面.

其中，能使命题“”成立的有

　     A．1个　　　           B．2个　           　C．3个　      　　  D．4个

6. 难度：中等

 已知实数满足则的最大值是

A．5　　             　B．-1　      　     C．2　　     　      D.

7. 难度：中等

 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的

A．充要条件　    　          B．充分不必要条件　　

C．必要不充分条件            D. 既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

 已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为

　  A．　　　          B．　          　　C．　　       　D．

9. 难度：中等

 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，……,100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是

A.88%               B. 90%            C. 92%               D.94%

10. 难度：中等

 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是

A．　　　        B．　　　     C．　　　       D．

二、填空题

11. 难度：简单

 已知等差数列中, ,,则         .

12. 难度：简单

 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为         .

13. 难度：中等

 在中，，则周长的最大值为         .

14. 难度：中等

 已知，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为         .

15. 难度：中等

 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！

二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；

三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；

四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；

由此推测：10位的回文数总共有　　　个.

三、解答题

16. 难度：中等

已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？

17. 难度：困难

将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为，已知.

（Ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）；

（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示.试求的最大值.

18. 难度：困难

已知等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.

（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；

（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.

19. 难度：中等

如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.

　　　　

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

20. 难度：困难

已知，，，…，（）.

(Ⅰ)请写出的表达式（不需证明）；

(Ⅱ)设的极小值点为，求；

(Ⅲ)设， 的最大值为，的最小值为，试求的最小值.

21. 难度：压轴

 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作

（1）选修4—2:矩阵与变换

若二阶矩阵满足.

（Ⅰ）求二阶矩阵；

（Ⅱ）把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程.

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.

（3）选修4—5：不等式选讲

已知函数的最小值为，实数满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：．