第23章《一元二次方程》中考题集（22）：23.3 实践与探索（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

椐报道，2007年“五•一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入约2.56亿元．其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%，而游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元．
（1）2007年“五•一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？
（2）预计2008年“五•一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的2.59倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍．请估计2008年“五•一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）

2. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

3. 难度：中等

已知：关于x的方程2x²+kx-1=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值．

4. 难度：中等

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0（m为实数），
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

5. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a=0．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x₁，x₂，且满足，求a的值．

6. 难度：中等

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程kx²+4x-3=0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k，使2x₁+2x₂-=2成立z若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

7. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+4x+m-1=0．
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α²+β²+αβ的值．

8. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使+=1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

9. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+k（x-1）-1=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂）？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

已知：关于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求k的值．

11. 难度：中等

已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

12. 难度：中等

已知一元二次方程x²-2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁+3x₂=3，求m的值．

13. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-x+p-1=0有两实数根x₁，x₂，
（1）求p的取值范围；
（2）若[2+x₁（1-x₁）][2+x₂（1-x₂）]=9，求p的值．

14. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的两实数根为x₁，x₂
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

15. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

16. 难度：中等

从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于x一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根a，β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设，求t的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若=，求的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：-=．
我选做的是______题．

17. 难度：中等

在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

18. 难度：中等

已知方程x²-4x+m=0的一个根为-2，求方程的另一根及m的值．

19. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的两个实数根，且x₁+2x₂=3-．
（1）求x₁，x₂及a的值；
（2）求x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值．

20. 难度：中等

设x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立？请说明理由．
（温馨提示：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，则它的两个实数根是：）

21. 难度：中等

已知关于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

阅读材料：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-3则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上解法解答下题：已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求：
（1）的值；
（2）（x₁-x₂）²的值．

23. 难度：中等

（1）解方程求出两个解x₁、x₂，并计算两个解的和与积，填人下表

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
9x^2-2=0
2x^2-3x=0
x^2-3x+2=0
关于x的方程ax^2+bx+c=0 （a、b、c为常数， 且a≠0，b^2-4ac≥0）

（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．

24. 难度：中等

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

25. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-mx-2=0…①
（1）若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

26. 难度：中等

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

27. 难度：中等

（1）解分式方程：
（2）如果-1是一元二次方程x²+bx-3=0的一个根，求它的另一根．

28. 难度：中等

阅读并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，则有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=，x₂=，则有x₁+x₂=，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-，x₂=1，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x₁，x₂，那么x₁，x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：
已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

29. 难度：中等

已知x=1是一元二次方程ax²+bx-40=0的一个解，且a≠b，求的值．

30. 难度：中等

设x₁、x₂是方程2x²-5x-6=0的两根，求的值．