Question

已知关于x的一元二次方程x²+k（x-1）-1=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂）？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求证无论k取何值，这个方程总有两个实数根，即是证明方程的判别式△≥0即可；
（2）本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，两根之和等于-，两根之积等于．
x12+kx1+2x1x2=7-3（x1+x2），即可用k的式子进行表示，求得k的值，然后判断是否满足实际意义即可．
【解析】
（1）方程x2+k（x-1）-1=0可化为x2+kx-k-1=0，
由于△=k2+4k+4=（k+2）2≥0，
所以方程有两个实数根．

（2）假设存在正数k，满足x12+kx1+2x1x2=7-3（x1+x2），
由于x1，x2是方程的两个实数根，
∴把x=x1代入得：x12+kx1-k-1=0，
∴x12+kx1=k+1，x1+x2=-k，x1x2=-k-1，
即k+1+2（-k-1）=7+3k，
解得k=-2，这与题设k＞0相矛盾．
∴满足条件的正数k不存在．