第25章《图形的变换》常考题集（23）：25.3 轴对称变换（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）将抛物线进行平移（沿上下或左右方向），使它经过点C′，求此时抛物线的解析式．

2. 难度：中等

含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．

3. 难度：中等

如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

4. 难度：中等

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

5. 难度：中等

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

6. 难度：中等

如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为______cm．

7. 难度：中等

如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．

8. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=2，BC=2，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC．
（1）求AD的长；
（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

9. 难度：中等

如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）请用尺规作图：作△BC′D与△BCD关于矩形ABCD的对角线BD所在的直线对称（要求：在原图中作图，不写作法，不证明，保留作图痕迹）．
（2）若矩形ABCD的边AB=5，BC=12，（1）中BC′交AD于点E，求线段BE的长．

10. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，试判定四边形AEBC的形状，并证明你的结论．

11. 难度：中等

如图，直角坐标系中，以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）直接写出C、M两点的坐标．
（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．
（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．

12. 难度：中等

如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．
（1）请用尺规作出扇形的对称轴（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的高．

13. 难度：中等

写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
（1）点B、E的位置有什么特点；
（2）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？

14. 难度：中等

图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．
（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）

15. 难度：中等

如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）求直线MN所对应的函数关系式；
（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）

16. 难度：中等

作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）．
（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A₁B₁C₁D₁；
（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A₂B₂C₂D₂．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁．
（3）写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

18. 难度：中等

汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．

（1）请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字；
（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则小慧获胜，你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…如此下去．
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：______；
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离．

20. 难度：中等

如图所示，在直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-3，0），C（-4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）写出点C关于y轴的对称点C′的坐标（______，______）．

21. 难度：中等

如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．
（1）分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′．（不写作法）

22. 难度：中等

如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

23. 难度：中等

如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）求图1中四边形ABCD的面积；
（2）在图2方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．

24. 难度：中等

如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．将纸条的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案．
（1）请在原图中画出翻折后的平行四边形A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=65°，求∠B′FC的度数．

25. 难度：中等

下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．
（1）“小猪”所占的面积为多少？
（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；
（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（______，______）．

26. 难度：中等

（1）在图1所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为______；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为______；
（2）在图2中，画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁．

27. 难度：中等

认真画一画．如图，在正方形网格上有一个△DEF．
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形△D′E′F′（不写作法）；
（2）作EF边上的高（不写作法）；
（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为______．

28. 难度：中等

如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于Y轴的对称图形，并直接写出△ABC关于x轴对称的三角形的各点坐标．

29. 难度：中等

只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：
（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：
＜1＞量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；
＜2＞画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．
（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．

30. 难度：中等

如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（-2，-2）．
（1）请在图中作出△ABC关于直线x=-1的轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标；
（2）求四边形ABED的面积．