Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）将抛物线进行平移（沿上下或左右方向），使它经过点C′，求此时抛物线的解析式．

Answer

（1）由题意可知B，B′的坐标，可用待定系数法求得一次函数的解析式．由一次函数解析式可得到M，N两点的坐标，代入二次函数即可求得二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）可上下平移，横坐标等于C′的横坐标，左右平移，纵坐标等于C′的纵坐标．
【解析】
（1）由题意得，B（-1，3），B'（3，1），
∴直线BB′的解析式为，
直线BB′与x轴的交点为M（5，0），与y轴的交点N（0，），
设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
∵抛物线过点N，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为=；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，OP交NM于E，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，），M（5，0），
∴MN===，OE===，
∴OP=2OE=2，
∴OP==2①，
PM==5②，
①②联立，解得，
把x=2代入二次函数的解析式y=-x2+2x+得，y=，
∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）若抛物线上下平移经过点C'，此时解析式为，
当y=1时，，
∴，=，
若抛物线向左平移经过点C'，平移距离为，
此时解析式为=，
若抛物线向右平移经过点C'，
此时解析式为．