Question

设数列的前项和为，．

（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；

（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）设,，若不等式对恒成立，求的最大值．

Answer

（1），；（2）；（3）7

【解析】

试题分析：（1）由条件已知，则可利用的关系，求出通项公式为等差；则运用公式可求出；

（2）由（1）可得；则为等差数列，由此公式可得出的公式，可化为方程的解，实验可得；

（3）由，可先化简，发现可运用裂项求和，证明不等关系，可先分析它的单调性，化为最值问题而求出的最大值．

试题解析：（1）由，得;

相减得

故数列是以为首项，以为公差的等差数列．

所以,

（2）由（1）知 ，

所以

由 得，即存在满足条件的自然数

（3）

，即单调递增，故

要使恒成立，只需成立，即．故符合条件的的最大值为．

考点：（1）数列中的关系；（2）构造数列及方程思想；（3）裂项数列求和及函数的单调性与最值思想．