Question

设函数（，实数,是自然对数的底数,）．

（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求证：实数的最大值大于．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）法一：求导，分与讨论函数的单调性，求得的取值范围；法二：将问题转化为，从而分、讨论函数的单调性，求得的取值范围；（Ⅱ）设，通过求导讨论函数的单调性，求得其最值使问题得证．

试题解析：（Ⅰ）法一：．

（1）当时，，∴在上恒成立；

（2）当时，可得，可得．∴在为减函数，在为增函数．∴，

要使得在上恒成立，必有，即．

综上实数的取值范围为．

法二：若在上恒成立，即．

（1）当时，∵，，∴原不等式显然成立；

（2）当时，有，设，则．

∴在上大于；在上小于．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴，∴．

综上：实数的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，

，可得；，可得．

∴在上单调递增；在上单调递减．

∴，∵，∴，∴．

由（Ⅰ）可得，∴的最小值大于，若对任意恒成立，则的最大值一定大于．

考点：1、不等式恒成立；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数最值与导数的关系．