Question

已知椭圆：的左右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，满足．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点（异于椭圆的顶点），直线分别和轴相交于两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）法一：把点横坐标代入椭圆求得，从而得到的关系式，进而求得离心率；法二：直角中，由勾股定理得到的关系式，从而求得离心率；（Ⅱ）设，则由、的方程中分别令得到与点横坐标，从而由求得的值，进而求出值，得到椭圆方程．

试题解析：（Ⅰ）法一：点横坐标为，代入椭圆得，

解得，∴．

即，设，∴，解得．

法二：直角中，，

∴由勾股定理得，即，

∴，∴，即

（Ⅱ）设，

则方程为，令得到点横坐标为；

方程为，令得到点横坐标为；

∴,∴椭圆的方程为．

考点：1、椭圆的方程与性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．