Question

如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，．面，且．在棱上，且，在棱上．

（Ⅰ）若面，求的值；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）法一：过作交于，连接，连接交于，连接，可推出面，从而得到面面，进而得，从而由中位线定理求得比值；法二：取中点，连接，由菱形的性质可得出面，从而以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系，求出的一个法向量，设，则用表示出，从而由求得，进而求得结果；（Ⅱ）法一：过点作直线交延长线于，过点作直线交于，易证得是二面角的平面角，从而通过解三角形求得二面角的大小；法二：利用空间夹角公式求解．

试题解析：（Ⅰ）法一：过作交于，连接，连接交于，连接．

∵，面，面，

∴面，又，面，面,

∴面面，

又面，∴面，

又面面，面，

∴．

又为中点，∴为中点，∴，

∴为中点，．

法二:取中点，连接，∵是的菱形，

∴，又面，∴分别以、、

为、、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示．

则

∴，

设面的一个法向量，

则由可得，不妨令，则解得，

∴．

设，则，

∵面，∴，即，解得．

∴．

（Ⅱ）法一: 过点作直线交延长线于，过点作直线交于，

∵面，∴面面，

∴面，由三垂线定理可得，

∴是二面角的平面角．

由题易得，且，∴，

∴，

∴二面角的大小为．

法二:接（Ⅰ）法二，显然面的一个法向量，

∴．

∴二面角的大小为．

考点：1、空间平行关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．