Question

已知函数f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），若，试比较与的大小关系；
（Ⅱ）若且f（x_n+1）=g（x_n）．求证：．

Answer

（I）h（x）=2x-π-cosx，令．然后利用导数研究函数的最小值，讨论k的奇偶，即可得到与的大小关系；
（II）由条件知：2xn+1-π=cosxn，则x∈R时恒有|x|≥|sinx|，从而得到，然后利用等比数列求和公式进行求和即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）h（x）=2x-π-cosx．∴
=．（2分）
令．
则．
又．
∴当k为偶数时，时，ϕ'（x）＜0．
x∈时，ϕ'（x）＞0．（5分）
∴ϕ（x）＞ϕ（x2）=0．∴从而．（6分）
同理可得当k为奇数时，．
∴当k为偶数时，，
当k为奇数时，．（7分）
（Ⅱ）由条件知：2xn+1-π=cosxn．
当，当，∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|．（9分）
故．
又，∴．∴
=．（14分）