(Ⅰ)由条件①中等号右边的第二项变形后,前两项提取,利用平面向量的减法法则计算后,得到,根据平面向量的数量积运算法则得到CA与CB垂直,从而得到∠C为直角,确定出三角形为直角三角形;
(Ⅱ)由条件②得到M为AB中点,由条件③得到C为MN中点,根据第一问得到∠C为直角,故以C为原点,CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,设出A和B的坐标,利用勾股定理表示出|AB|的长,由直角三角形的外接圆半径为1,得出斜边长为2,即|AB|=2,列出关于a与b的等式,利用中点坐标公式表示出M及N的坐标,进而表示出和,利用平面向量数量积运算法则计算后,把得出的a与b的等式代入即可求出值.
【解析】
(Ⅰ)由条件①知:
(3分)
∴.即CA⊥CB.
∴△ABC为直角三角形;(5分)
(Ⅱ)由条件②知M为AB的中点,(6分) 由条件③知C为MN的中点.(7分)
以C为原点,CA所在直线为x轴建立直角坐标系.
设A(a,0),B(0,b),又△ABC的外接圆半径为1,
则有.(8分)
∴,
∴,
∴.(12分)