Question

我们把数列{a_n^k}叫做数列{a_n}的k方数列（其中a_n＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项和．
（Ⅰ）试比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的大小；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：[S（1，n）]²=S（3，n），求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）根据题中的新定义分别表示出S（1，2），S（3，2）与S（2，2），进而表示出S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的差，根据an＞0，判断差为非负数，即可比较出所求两式的大小；
（Ⅱ）根据原题的新定义分别表示出S（1，n）及S（3，n），代入已知的等式，再利用等差数列的求和公式化简等式左边的底数，得到Sn2=a13+a23+…+an3，当n大于等于2时，得到Sn-12=a13+a23+…+an-13，两式相减后，左边利用平方差公式分解因式，再根据Sn-Sn-1=an进行变形，求出Sn+Sn-1的值，进而当n大于等于3时，两式相减，再根据Sn-Sn-1=an进形变形，进而求出an-an-1的值及a1的值，确定出数列{an}为等差数列，根据确定出的公差及首项写出通项公式即可．
【解析】
（Ⅰ）依条件知：
S（1，2）=a1+a2，S（3，2）=a13+a23，S（2，2）=a12+a22．（3分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]2
=（a1+a2）（a13+a23）-（a12+a22）2
=a1a23+a2a13-2a12a22
=a1a2（a1-a2）2，
∵an＞0，
∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]2；（6分）
（Ⅱ）由[S（1，n）]2=S（3，n）得：
（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3．n∈N*．（7分）
．又an＞0．
∴Sn+Sn-1=an2，n≥2．
则Sn-1+Sn-2=an-12，n≥3，
将两式相减得：an+an-1=an2-an-12，n≥3，又an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥3．（11分）又a12=a13且a1≠0，
∴a1=1．（a2+1）2=a23+1且a2＞0，
∴a2=2，即a2-a1=1．
∴n≥2时均有an-an-1=1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=1+（n-1）×1=n．（13分）