Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；
（II）先得出an，再解关于n的不等式，根据{bn}的定义求得bn再求得S2m；
（III）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得，
解，得．
∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．

（Ⅱ）由题意，得an=2n-1，
对于正整数m，由an≥m，得．
根据bm的定义可知
当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2++b2m=（b1+b3++b2m-1）+（b2+b4++b2m）=（1+2+3++m）+[2+3+4++（m+1）]=．

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．
∵bm=3m+2（m∈N*），根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，
即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！
当3p-1=0，即时，得，
解得．（经检验符合题意）
∴存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．