Question

已知平面向量=，=，
（1）证明：⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和g，使=+（g²-3），=-k+g，且⊥，试求函数关系式k=f（g）；
（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．

Answer

（1）欲证，只需证明两个向量的数量积等于0即可，用向量数量积的坐标运算计算．
（2）因为，所以=0，就可得到含k，g的式子，把k用g表示，化简即为函数k=f（g）的关系式．
（3）由（2）得，=0，所以要判断方程的解的情况，即判断曲线与直线y=k的交
点个数的情况，利用导数求函数f（g）的极值，由函数的极值画出函数的大致图象，通过图象讨论，曲线与直线y=k的交点个数，即得关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．
【解析】
（1）∵，∴．
（2）∵，∴=0，即（+（g2-3））•（-k+g）=0．
整理得：-k2+[g-k（g2-3）]•+g（g2-3）•2=0．
∵=0，2=4，2=1，∴上式化为-4k+g（g2-3）=0⇒
（3）讨论方程=k的解的情况，可以看作曲线与直线y=k的交
点个数.，令f'（g）═0，解得g1=1，g2=-1，当g变化时，f'（g）、f（g）
的变化情况如下表：

当g=-1时，f（g）有极大值，当g=1时，f（g）有极小值，
而时，得：，0，，
可得：f（g）的大致图象（如右图）．
于是当或时，直线与曲线有且仅有一个交点，则方程有一【解析】

当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；
 当k=0时，直线与曲线有三个交点，但k、g不同时为零，故此时也有二解； 
当或时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解．